Invited speakers

• Pavel Chalmovianský (Katedra algebry a geometrie, FMFI UK, Bratislava, Slovensko)

Název přednášky: Podobnosti a rozdiely diferenciálnej a algebraickej geometrie

Abstrakt: Pozrieme sa na koncepty, ktorými sa geometrické disciplíny navzájom ovplyvňovali. Medzi vhodných kandidátov patria Eulerova charakteristika, rôzne druhy rodov a druhá základná forma plochy, z ktorej sa odvádza krivosť. Všeobecná teória je v danom časovom rámci neobsiahnuteľná, takže ukážeme elementárne príklady poukazujúce na spoločné a rozličné črty oboch disciplín.

Talk title: Bridges and differences of differential and algebraic geometry

Abstract: We look at concepts mutually influencing the disciplines. Good candidates are Euler characteristics, genera of various kind and second fundamental form resulting in curvature. The general theory is too involving, we show suitable elementary examples showing intersections and symmetric differences of both areas.

---

• Jan Legerský (FIT, ČVUT, Praha, ČR)

Název přednášky: Paradoxní pohyblivost: realizace grafů a mnohostěny

Abstrakt: Jednou z hlavních otázek strukturální teorie pevnosti je, zda-li realizace vrcholů grafu v d-dimenzionálním prostoru umožňuje spojitou deformaci při zachování vzdáleností mezi sousedními vrcholy. Pokud ano, nazveme realizaci pohyblivou, jinak pevnou. Pro daný graf jsou všechny generické realizace buď pevné, nebo jsou všechny pohyblivé. Nicméně negenerické realizace se mohou chovat odlišně, což vede například k paradoxní pohyblivosti. Před pár lety jsme charakterizovali existenci (negenerické) pohyblivé realizace v rovině pomocí speciálního obarvení hran, zvaného NAC-obarvení. V této přednášce bude popsán tento překvapivý vztah mezi geometrií a kombinatorikou a jeho různá rozšíření. Zaměříme se také na mnohostěny s trojúhelníkovými stěnami, které můžeme chápat jako realizace v trojrozměrném prostoru. Zejména bude předveden nový výsledek o nejmenším možném pohyblivém mnohostěnu, jehož stěny se nijak neprotínají.

Talk title: Paradoxical flexibility: frameworks and polyhedra

Abstract: One of the main questions of rigidity theory is whether a bar-joint framework, which is a graph with a realization of its vertices in the d-dimensional space, allows a continuous deformation preserving the distances between adjacent vertices. If yes, the framework is called flexible, otherwise rigid. For a fixed graph, either all generic frameworks are rigid, or all generic ones are flexible. However, non-generic realizations might behave differently yielding for instance paradoxical motions. A few years ago, we have characterized the existence of a (non-generic) flexible realization in the plane for a given graph in terms of special edge colorings, called NAC-colorings. In this talk, this surprising interplay between combinatorics and geometry and its various extensions shall be presented. We focus also on polyhedra with triangular faces which can be considered as bar-joint frameworks in the 3-space. In particular, a new result on the smallest flexible polyhedron without self-intersections shall be given.

---

• Jaroslav Hrdina (FME, VUT, Brno, ČR)

Název přednášky: Geometrické algebry v aplikacích a ve výuce

Abstrakt: Algebra kvaternionů je v dnešní době běžně používaným aparátem počítačové grafiky. Plně nahrazuje maticový počet při výhodnější výpočetní rychlosti. Na druhou stranu se v posledních letech prosazuje koncept geometrických algeber a to v široké třídě aplikací. Jedná se o přístup k Eukleidovským transformacím ekvivalentní využití kvaternionů a duálních kvaternionů. Geometrické objekty jsou realizovány prvky Grasmannovy algebry vhodné dimenze a Eukliedovské transformace vhodnými multivektory v této algebře. Akce těchto transformací jsou pak stejně jako u kvaternionů realizovány pomocí sandwitchového součinu. Nejedná se tedy o akci grupy SO(3) ale o akci grupy Spin(3) a jejího afinního rozšíření stejně jako v případě kvaternionů a duálních kvaternionů. Ukážeme si na jakých principech geometrické algebry fungují, sérii příkladů a aplikací. Nakonec ukážeme jak je možné vybudovat základní kurz analytické geometrie pomocí tohoto aparátu.

Talk title: Geometric algebras in applications and teaching

Abstract: The algebra of quaternions is a widely used apparatus in computer graphics nowadays. It fully replaces matrix calculus at a more convenient computational speed. On the other hand, geometric algebras have recently been popularized in a wide class of applications. This approach to Euclidean transformations is equivalent to using quaternions and dual quaternions. Geometric objects are realized by elements of the Grasmann algebra of suitable dimension and Euclidean transformations by suitable multivectors in this algebra. The actions of these transformations are then realized by the sandwich product, as in the case of quaternions. Thus, they are not $SO(3)$ group actions but actions of the $Spin(3)$ group and its affine extension, as in the case of quaternions and dual quaternions. We will show the principles on which geometric algebras work and a series of examples and applications. Finally, we show how a basic course in analytic geometry can be built using this apparatus.